近些年來，3D打印產業發展迅猛， 新型打印技術和（hé）設備層出不窮。3D打印技術被認（rèn）為將（jiāng）會為個性化產品的設計及生產帶來革新。同時，3D打印技術的發展也給數字幾何處理帶（dài）來了新的挑（tiāo）戰。研究人員從探（tàn）索並（bìng）優（yōu）化3D打印（yìn）這（zhè）一實例化模型的過（guò）程（chéng）出發，結合三維模型的（de）幾何特性開展一係列的研究，並受到越來越（yuè）多的重視和關注。

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在傳統的（de）建（jiàn）模過程中，研究人員更多考慮的是三維模型（xíng）與實體（tǐ）的幾何相似性。而隨（suí）著3D打印機的日益（yì）普（pǔ）及， 對模型進行實例化製造也變（biàn）得（dé）越發便捷，這使得研究（jiū）人員開始了對於優化這一過程方式的探索，即希望能（néng）通過更加快速、廉價的方式打印出（chū）可以實現某些特定功能的實（shí）例化（huà）模型。由於（yú）3D打印技術的發展（zhǎn）曆史以及研究現狀並非本文的重點，本文將不對其（qí）進行詳細介紹，具體請參見這方麵的相關綜述。本文將著重介紹在3D打印啟發下對模（mó）型實例化這一過（guò）程進行優化方麵的研究工（gōng）作，並分別從模型設計和打印過程2個階段進行闡述。值得注意的是，不同於之前工作中對於相關幾何計算問題基於自身特點的分類，接下來我們側重分析（xī）問題提出的背景（jǐng）以及其在整個實例化（huà）過程中所起到的（de）作用，從而希（xī）望能夠對想要尋找新的（de）研究問題的（de）讀者有所啟發。  

1  模型設計優化  

3D打印技術的廣泛適用性，使（shǐ）得通過傳統方式建模（mó）得到的三維（wéi）模（mó）型理論上都可以直接通過3D打印機得到實體。但是，由於在模型設計過程中並（bìng）沒有考慮模型自重、受力等因素（sù），打印完成的實體可能極（jí）易斷（duàn）裂或（huò）者（zhě）無法（fǎ）實現如平穩站立等特殊的（de）功能性要求。因此，研究人員通過對現有模（mó）型（xíng）進行改造的方式優化（huà）靜（jìng）態三維模（mó）型的設計。另外，3D打印的發展同時也為動態模型的製造提供了（le）極大的便利；相應地，可打印的動態模型設計方麵的研究也成為了熱點。

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1．1  靜態模型  

對靜態的實例化模型最基本的要求是其結（jié）構的穩定性，即打印（yìn）過（guò）程中（zhōng）以及完成後的實物不易斷裂或破損． 為了（le）保證模型（xíng）的這一特性，研究人員（yuán）對模型進行了可打印性（printability）分析。Telea等根據經驗得出模型中過細的部分是影響可打印性的關鍵，並製定出（chū）了（le）多個相應的（de）判定準則，進而給（gěi）出了第一個自動分析模型（xíng）可打印性的算法；但是他們並沒有給出完善模（mó）型可打印性的方案。此（cǐ）後，Nelaturi等（děng）在分析精（jīng）確度上對其（qí）進行了改進，並提出了局（jú）部加粗的修正方法。Stava等則依靠（kào）分析模（mó）型的自重以及模（mó）型被拿起時可能的受力點來檢測出薄弱結構，然後通（tōng）過增加支柱、局（jú）部加粗以及內部挖洞（dòng）等方式，在盡可能小地改變模型外形情況下來增強模型的可打印性。 

以圖1a所示（shì）打印完成（chéng）的卡通香蕉模型（xíng）為例，通過加粗腿部（bù）結構以及在後背加上支（zhī）柱（zhù），模型得以完整打印並且不會（huì）因為自重破裂。另外，Umetani等通過分（fèn）析給定方向切麵上的受力信息來對結構強度進行分析。上述對可打印（yìn）性以及結（jié）構穩定性分析的方法，都依賴於對模（mó）型所受外力以及自身重力的物理結（jié）構分析（xī），但是對外力的預估（gū）往（wǎng）往並不是十分準確，因此他們（men）分析結果的真實（shí）性和可靠性相對減弱。針（zhēn）對（duì）上述問題，Zhou等在不（bú）對模型受（shòu）力情況進行假設的前提下，單純從模型的幾何形態及其組成材料對最容易斷裂（liè）或者破損的部分（fèn）進行（háng）分析檢測，其中技（jì）術關鍵則是模態分析（modal analysis）。但也正是由（yóu）於他們假設的（de）限製性（xìng），所提出的算法隻初步考慮了材料（liào）的（de）線性彈性（xìng），並未對材料（liào）的各種屬性進行充（chōng）分的分析（xī）。

 

平衡性是對靜態模型的另一個（gè）常規要求，但是如果將給定模型直接打印（yìn），則可能會由於重心不穩定的原因無法使其保持（chí）平衡。Prévost等提出了一個交互式對模型（xíng）體進行改變的方式，使得模型能夠以指定的方式穩（wěn）定站立或（huò）者懸掛；其中允許（xǔ）的改變包括對（duì）模型表麵進行（háng）形變以及在模型內部挖洞。類似地，為了能夠讓模型像陀螺或者悠悠球一樣旋轉，B?cher等通過在模型體（tǐ）內挖洞來（lái）改變（biàn）質量分布的方式，使模型在旋轉過程中保持穩定狀態。Yamanaka等則通過改變模型內部（bù）結構使其質量分布滿足預定的（de）期望。

圖1b和（hé）圖1c中分別展示了3D打印出來的（de）可以穩定站立和旋轉的模型。這方麵（miàn）的研究通常是先分析出模（mó）型為滿足所（suǒ）研究的某一功能（néng）性要求的理想密度分布，然後通過改變模型內部（bù）材料分布，以及對模型外（wài）形進行輕（qīng）微形變（biàn）來達到要求。除了通過對現有模型（xíng）進行改造得到滿（mǎn）足特定要求的模型外，新的以3D打印為（wéi）目（mù）的的建模方式也應運（yùn）而（ér）生，如合理的家（jiā）具模型設計、幾何裝飾品設計以及平板拚裝模（mó）型的設計等（děng）。此外，由（yóu）於通常情況下設計和生產需要經過多次反複測試才能最終得到理想的模型和實物，快速打印出近似的模型設計來查看當前存在問題，可以有效地（dì）加快設計修改的進度（dù）。 

1．2  動態模型  

關節模型是較為常見的一種動態模型，且在計算機動畫領域應（yīng）用廣泛。然而，傳統的關節模型通常不能直接作為3D打印機的輸入（rù）進行製造，因此如何在已有數據基礎上設計出可直接打印的關節模型成為一個關鍵問題。以包含表麵幾何（hé）信息以及內部骨骼信息的蒙皮網格為輸入，B?cher等將其自（zì）動轉化成（chéng）單個可以直接打（dǎ）印的關節模型，圖2a顯示（shì）了同一個關（guān）節模型的不同姿勢。Calì等則將重點放在不同類型（xíng）關節結構的（de）設計（jì）上，對（duì）於給定的一個普通靜態網格，他們通過用戶交互的方式構造出相似的關節模型。同樣，這裏的（de）關節模型也是可以（yǐ）直接打（dǎ）印的（de）整體，不需要拚裝。圖2b顯示了一個3D打印得到（dào）的（de）手（shǒu）關節（jiē）模型。這（zhè）一類研究工作的重點主要在於關節結構的設計，以及如（rú）何（hé）在輸（shū）入模型中（zhōng）分布這些關節以（yǐ）使得最終模型能夠自如（rú）活動（dòng）。

 

通（tōng）過對關節的控製，可以將關節模型擺出不同的姿勢，而機械模型（mechanical model）則能進一步通過控（kòng）製齒輪運動得到模型（xíng）的動畫。機械玩具、機械人及機械卡通等（děng）設計相繼得以實現，並通過3D打印技（jì）術得以快（kuài）速製造，如圖3所示。機（jī）械模型的設計依賴（lài）於初始輸入對最終動畫的要求，從預先生成的部件庫中選取並組裝合適的部件，使得最終的模型能夠完成輸入的動畫要求。

 

此外，3D打印（yìn）技術的發（fā）展還激發了其他一些有趣動態模型（xíng）的創造。Zhou等在將一個給定模 型體素化（voxelization）之後，通過優化相鄰體素之間的關節類型分布以及折疊路徑的設置，最終（zhōng）使得體素化後的模型能夠折疊成方塊。Megaro等則提供了一個交互工具用（yòng）來設計類似於皮影戲中（zhōng）人偶的動（dòng）態（tài）模型。

2  打印過程優化

設計完成的三維模型（xíng）將作為3D打印機的輸入用於實例化製造（zào）。通常，模型是以三維表（biǎo）麵網格的形式表示， 但是3D打印出來的是實體模型，所以第一步需（xū）要先（xiān）將表麵（miàn）網格轉化為（wéi）體表達。接著，在確定出打印方向之後， 實體模型需要被切割成垂（chuí）直於打印方向的層結構，最終通過逐層堆（duī）疊積累的方式打印出（chū）完整（zhěng）模型。以下將就打印不同階段所遇到的優化問題（tí）分別對相應研（yán）究進行簡介。   

2．1  容量限製 

每一款3D打印機都（dōu）有可打印容量的限製， 所以在打印開始前可能出現的情況是現有的打印機無法容納（nà）下需要打印（yìn）的模型。就這一（yī）問題，將輸入模型（xíng）自動切割並分別打印之後再組裝回（huí）原模型的算法相繼被提出。這些算法都采用（yòng）平麵切割（gē），並（bìng）且（qiě）都在切割麵上設計並分布了（le）連接器（connector），以使得部件間可以靈活組裝。相比之（zhī）前的工作，Luo等在切割過程中（zhōng）更多地考慮了可打印性、結構穩定性（xìng）、拚裝簡易性、美學特征等信息，分割塊數也更少。圖4a顯示了采用該算法得到的對椅子模型的分割結果以及打印後拚裝成的實體模型（xíng）。通過限製用平麵對模型切割，從而便於在（zài）其上增加連接器，並將這一模型分割問題（tí）轉化為尋（xún）找最優BSP樹的問（wèn）題，再通過束搜索（beam search）算法對其進行求解。

 

針對連接器在有些情況下不（bú）能給（gěi）部件之間提供充分的結構性保證，而且在運輸或者裝（zhuāng）配過程（chéng）中容易損壞的問題，Song等提出了將三維模型切割成互鎖的（interlocking）部件來（lái）避免（miǎn）使用連接器，如（rú）圖（tú）4b所示。通過這種互鎖（suǒ）的方式，拚裝之後的模型（xíng）具備了（le）較高的穩定性，又保證了每一塊分割模（mó）型的表麵的光滑性。但是，這一方式的分割又無法同時達到拚裝簡易性、具有美（měi）學特征等方麵（miàn）的要求。 

2．2  打印實體 

在對模型進（jìn）行可打印性分析以及在為實現其他功能特性（xìng）對模型進行改造時，一般（bān）都（dōu）會假設對最終得（dé）到的網格進（jìn）行實心打印（除（chú）了（le）改（gǎi）造過程中已挖空的（de）部分）。然而，為了（le）節省打印材料以及打印（yìn）時間，通常3D打（dǎ）印機都會對模型體內用相對於表麵較為鬆散的結構進行（háng）稀疏填充。但是，一般自帶軟（ruǎn）件的稀疏（shū）填充功能在材料以及時間上的節省度往往（wǎng）達不到用戶期望（wàng），所以不少研究者提出了不（bú）同的（de）從三維表麵（miàn）網格到可打印實體的轉化（huà）方（fāng）式。

Wang等將模型表達成如圖5a所示（shì）一個（gè）很薄的蒙皮以及內部的剛架結構，使得表達後的物體體積最小，且打印物體（tǐ）能夠滿足（zú）所要求的（de）物理強度、受力穩定性、自平衡（héng）性及可打印性等要求。Lu等則用（yòng）圖5b所示蜂窩結構作為模型的內部結構，在減少（shǎo）材料損耗的同（tóng）時保證了模型的強度（dù）。

這2項（xiàng）工作的主要貢獻在於對自（zì）穩定結構（gòu）的探索並將其成功引（yǐn）入（rù）到（dào）3D打印過程中來（lái）。用自穩定（dìng）結構對模型進行近似，使（shǐ）得其在打印過程中的材料消耗大大降低的同時保證了結構的穩定性（xìng）。為了在結構優化（huà）過程中（zhōng）實現結構幾何形狀與（yǔ）對象受（shòu）力（lì）傳（chuán）遞路（lù）徑保持一致，徐文鵬等通過逐步刪除無（wú）效或者低利（lì）用率的（de）內部材料來（lái）最小化打印體積。Vanek等則並未從自穩定結構（gòu）出發，且減弱了對模型穩定性的考慮，更側重於材（cái）料和時間的節省。他們直接用圖5c所示表麵的薄層（céng）來（lái）表示模（mó）型，並且將（jiāng）表麵薄（báo）層分割堆疊（dié）後（hòu）再一起進行打印，從而達（dá）到進一步節省打印時（shí）間和材料的目的（de）。

2．3  分層方式 

一般的3D打印過程（chéng）中，都是沿著選定的打印方向對模型體根據打印精度（dù）進行均（jun1）勻分層，即每一層具有相同厚度。事實上，由於模型在（zài）不同部位的精（jīng）細程度不一樣，所以最合適的層厚度也會有 所差異。而分層（céng）方式的優化，可以在一定程度上提（tí）高打印效率（lǜ）。對於CAD模型進行自適應分層的相關工作可參見綜述文獻，這一類工作主（zhǔ）要側重點在於打印（yìn）得到的（de）模型與輸入模型在幾何（hé）上的近似程度。Wang等則在通過選取合適的打印方向之後，提出（chū）了在保模型顯著特征的（de）前提下進行自適應分層的算（suàn）法，即（jí）根據（jù）特征在不同區域選用不（bú）同厚度的層結構。其中的關鍵技術是將這（zhè）一保顯著特征的自適應分（fèn）層算法轉化為帶約束的稀疏優化問題進行（háng）求解。為了進一步減少打印時間，還（hái）可以根據（jù）顯（xiǎn）著性特征的分析對模型進行分塊，再對每一塊（kuài）分別進行自適應分層。   

2．4  打印材料 

雖然目前大多數低端的3D打印機都隻有（yǒu）一個噴頭，且僅支（zhī）持單（dān）種材（cái）料；而更多實物（wù）是由多種材（cái）料構成的， 因此支持多種材料的3D打印（yìn）機是硬件發展的必然趨勢，現已有少數產（chǎn）品正（zhèng）式上市（shì）。對於需要（yào）多（duō）種材料進行打印的模型，相比直接給出材料的組（zǔ）合方式，更自然的方式則是讓用戶給出這個模型想要得到的材質和外觀效果。相應地，如何將（jiāng）多種不同的基本材料進行組合得到期望的效果，是針對（duì）多材料3D打印機的（de）研究熱點。Bickel等通過優化（huà）不同種材料（liào）之間層次疊加的組合方式使得最終打印的模型能夠達到給（gěi）定的受到外力時的形變效果。Ha?an則希望通過（guò）組合基本材料的方式來得到理想的表麵散（sàn）射（shè）效果。為了將上述操作進行（háng）整合，Chen等（děng）基於新的描述材料空（kōng）間以及優化過程的數據結（jié）構，提出了（le）一個（gè）統（tǒng）一處（chù）理不同目標下多種材料合成問題的算（suàn）法框架Spec2Fab。Vidim?e則提出了另一個可編程流水線係（xì）統OpenFab來解決多種材料合成問題。不同於Spec2Fab，他們能夠（gòu）讓用戶直（zhí）接準確地給出（chū）對於最（zuì）終（zhōng）打印模型幾何以及材料上的特性要求。此外，還有針對較普及的低端帶兩噴頭的3D打印機方麵的研（yán）究（jiū）工（gōng）作，例如減少2種材料之間的相互滲 透以及在模（mó）型表（biǎo）麵（miàn）打印出給定（dìng）的（de）紋理圖像。

 

2．5  支撐結構（gòu）  

通常，上述研究（jiū）工作都適用於各種類型的3D打印機。熔融沉（chén）積式（shì）（fused deposition modeling， FDM）3D打印機由於價格低廉、操作簡單，深受個人用戶以及教育機構（gòu）歡迎，其普及程度（dù）較高。因此（cǐ），有不少研究工作都是針對這類3D打印機開展的。這（zhè）類打印（yìn）機的最大缺點（diǎn）是（shì）在打印時對於那些懸空的結構需（xū）要打印額（é）外（wài）的支撐結構，使之得以附著。而這些支撐結構（gòu）所帶來的弊端，一方麵是造成了材料和時間的浪費，另一方麵是在打印完成後需要手動將這些支撐材料從模型上（shàng）去除。更嚴（yán）重的是（shì），由於它（tā）們之間的附著較為緊密，很難去除，使得在去除過程中可能會損壞打印的模型。 

因此，減少支撐材料成為優化此（cǐ）類打印技術的（de）關鍵，現有研究所采用的（de）方式大致可以（yǐ）分為2類：

第1類方式是保持原模型不變而改變（biàn）支撐結構， 使支撐結構本身的（de）材料使（shǐ）用量減（jiǎn）少． 目前， 3D打印機自（zì）帶軟件所生成的支撐結構通常是垂直連接懸空部分和其下最接近的實（shí）體部分， 如圖6a所（suǒ）示的3D打印機MakerBot? ReplicatorTM自帶軟（ruǎn）件生成的支撐結構． 可以（yǐ）看到（dào）， 這一（yī）類支撐結構並非最優結構， 支撐材料的消耗將遠大於模型真（zhēn）實所（suǒ）需． 為了改善支撐結構， Wang等通過先檢測（cè）出懸空點， 再用類似（sì）於棍狀結構來連接懸空點和離得最近（jìn）的網格上或者地麵上的點（diǎn）． 在自動（dòng）尋找並（bìng）添加支撐結構杆的同時， 陳岩等還對支（zhī）撐杆的具體結構進行了調整（zhěng）， 使其穩（wěn）定性更強並易於  去除（chú）． Vanek等則提出了自（zì）動生成（chéng）類似於AUTODESK? MeshmixerTM所生成的樹狀支撐結（jié）構的（de）算法， 如圖6b所示． 這一支撐結構在材料和時間節（jiē）省量上有更（gèng）大的優（yōu）勢． 此外， Dumas等（děng）  提 出了（le）一種橋形結構作為支撐， 如圖6c所示； 相對於樹（shù）狀結構， 橋形支撐結構具（jù）有更（gèng）大的強度， 也更為穩定．

 

第2類方式是對模型進行形變或者在對其進（jìn）行（háng）切割後分塊打印（yìn），以降低其對支撐結構的需求。在給定打（dǎ）印方向（xiàng）的前提下，Hu等提出了一個對模型體（tǐ）做少量形（xíng）變，從（cóng）而最（zuì）大限度地減少支撐材料使用的算法。在限製了切割方向隻能垂直（zhí）於打印（yìn）方向之後，Nakajima等提出了（le）一個（gè）同時優化打印（yìn）方向和相應（yīng）的切割位置的算法。Hu等則（zé）在不對（duì）打印方向和（hé）切割方向做任何假設的情況下，提出了三維模型的金字塔分割問題，並將其轉化為集合精確覆蓋（gài）問題進行近似求解。其中金字塔分（fèn）割問題是將（jiāng）給定的三維模型分割（gē）成最少塊金字塔形狀，而（ér）金字塔形狀沿著其對應的正方向是自支撐的，所以打印時不需（xū）要任何支撐材料。圖7顯示了直接打印得到的CCTV大樓（lóu）模（mó）型，以及對其進行近似金字塔分割（gē）後打（dǎ）印的結果。將給定的（de）三維模型進（jìn）行近似金字塔分割，並對分割塊分別以其對應的正（zhèng）方（fāng）向進行打印後再拚裝回原模型，Hu等的算法大大減少了對支撐材料（liào）的需（xū）求。盡管金字塔（tǎ）形狀在打印時不需要任何支撐材料，但是（shì）三維模型（xíng）不一定必須是金字塔形才能使得（dé）其對（duì）支撐材料的需求為零。在實際打印過程中，當三維模型（xíng）表麵隻有小幅度的傾斜角（jiǎo）度時，它可以不需要支撐材料而直接打印，因此（cǐ）對模型進行金字塔分割並不能保證（zhèng）在最（zuì）小化分割塊數以及最大化材料節（jiē）省2方麵（miàn）都達到最優狀態。

 

3  總結 

3D打印的發展使得從模型設計到生產的時間周期明顯縮短，進而（ér）在設計過程中可以充分（fèn）地考慮打印相關的因素並進行處理，因此設計出的模型將更有實用價值。另一（yī）方麵，對（duì）於打印過程進行進一步優化的研究工作也促進了3D打印技術的快速發展。對於在3D打印啟發下對模型實例化進行優化的工（gōng）作，本文從模型設計（jì）和打印2個階段（duàn）對現（xiàn）有研究進行了簡述。在模型（xíng）設計階段， 基於對最終實例（lì）化（huà）模型的不同功能性（xìng）要求，之前的研究工作對給定的數字化（huà）三維模型（xíng）進行不同方式的分（fèn）析和處理，使得其滿足給定的要求。然而，現（xiàn）實生活中存在著各種各樣具有不同功能（néng）的物體，目前已經被研究過的功能特性、能夠直接打（dǎ）印的功能性物體隻（zhī）是這其（qí）中極小一部分。

 

由於3D打印使（shǐ）得模型的製造變得非常便利（lì），相對於模型的幾何形態，研究者可以更注重對模型功能性的探索和分析，以輔助設計出能夠直接打印的、具有（yǒu）特定複雜功能的（de）物（wù）體。在實體打印階段，為（wéi）了能夠使得（dé）打印順利（lì）完成，或者（zhě）進一步節省打印時間和材（cái）料，亦或者使得模型外觀在打印完成後達到某一特定的效果，研究人員在各個打印步驟進行了優化。但（dàn）是，往往每一項工作都會為了優化某（mǒu）一特定目標，而忽略其他重要特性（xìng）。例如（rú），為（wéi）了節省打印材料和（hé）時間而對給定模型進行分割，卻造成了（le）模型結構上的（de）不穩（wěn）定性；在優化支撐結構的同時並未考慮模（mó）型的實體結構，而是假設其進行實心打印。因此，全麵分析打印（yìn）各步驟可能的優化方式，並結合模型所應具備的各種功能特性給出一個完善的模型實例化係統（tǒng），將（jiāng）會是一個（gè）巨大貢獻。隨著3D打印技術（shù）的不斷發展，我們（men）相信將會有更（gèng）多有趣的、值得研究和探索的幾何處理問題不斷湧現，而這些問題的解決又將進一步促（cù）進3D打（dǎ）印技術的（de）發（fā）展。