近些年來（lái），3D打印產業發展迅猛， 新型打（dǎ）印技術和設備層出不窮。3D打印技術被認為將會為個性化產品的設計及生（shēng）產帶來革新。同時，3D打印技（jì）術的發展也給數字幾（jǐ）何處理帶來了新的挑戰。研究人（rén）員從（cóng）探（tàn）索並（bìng）優化3D打印這一實例化（huà）模（mó）型的過程出發，結合三維（wéi）模型（xíng）的幾何特性開展一係列的研究，並受（shòu）到越來越多的重視和關（guān）注。

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在傳統的建模過程中，研究人員更（gèng）多考慮的是三維模型與實體的幾何相似性。而隨著3D打印（yìn）機（jī）的日（rì）益普及， 對模型（xíng）進行實例化（huà）製造也變得越發便捷，這使得研究人員開始了對於優化這一過程方式的探索，即希（xī）望能通過更（gèng）加快速、廉價的方式打印出可以實（shí）現某些特定功能的實（shí）例化模型。由於3D打（dǎ）印技術的發展曆史以及研究（jiū）現（xiàn）狀並非本文（wén）的重點，本文將不對（duì）其進行詳細介紹，具體請參見這方麵的相關綜述。本（běn）文將著重介紹在3D打印啟發下對模型實（shí）例化這一過（guò）程進行優化方麵的研究工作（zuò），並分別從模型設計和打印過（guò）程2個階段進行闡述。值得注意的是，不（bú）同（tóng）於之前工作中對於相關幾何（hé）計算問題基（jī）於自身特（tè）點的分類，接下來我們側重分析問題提出的（de）背景以及其在整（zhěng）個實（shí）例化過程中所起到的作（zuò）用，從而希（xī）望能夠對想要尋找新的研究問題（tí）的讀者（zhě）有所啟發。  

1  模型設計優化  

3D打印技術的廣泛適用性，使得通過傳（chuán）統方式建模得到的三維模型理論上都可以直接通過3D打印機得到實體。但是，由於在模型設（shè）計過程中並沒有考慮模型自重、受（shòu）力等因素，打印完成的（de）實體可能極易斷裂或者無法實現如平穩站立等（děng）特殊的功能性要求。因此，研究人員通過對現有模型進行改造的方式優化靜態三維（wéi）模型的設計。另外，3D打印的（de）發展同時（shí）也（yě）為動態模型的製造提供了極大的便利；相（xiàng）應地，可打印的動態（tài）模型設計方（fāng）麵的研究也成為了熱點。

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1．1  靜態模型  

對靜態的實例化模型最基本的要求是其結構的穩定性，即打印過程中以及（jí）完（wán）成後的實物（wù）不易斷裂或破損． 為了（le）保（bǎo）證（zhèng）模型的這一特性，研究人員對模型進行了可打印性（printability）分析。Telea等（děng）根據經驗得出模型中過細的部分是影（yǐng）響可（kě）打印性的關（guān）鍵，並製定（dìng）出了多個相（xiàng）應的判定準則，進而給出了第一個自動分析模型可打印性的（de）算法；但是（shì）他們並沒有給（gěi）出完善模型可打印性的方案。此後，Nelaturi等（děng）在分析精確度上對其進行了改進，並提出了局部加粗的（de）修正（zhèng）方法。Stava等則依靠分析模型（xíng）的自重以及模（mó）型被拿起時可能的受力點來檢測出（chū）薄弱結構，然後通過增加支柱、局部加粗以及內部挖洞等方式，在盡可能小地（dì）改變（biàn）模型外形情況下來增強模型的可打印性。 

以圖1a所示打印完成（chéng）的卡通香蕉模型為（wéi）例（lì），通（tōng）過加粗腿部結構以及在（zài）後背加上支柱，模型得以完整打印並（bìng）且不會（huì）因為自重破裂。另外，Umetani等通過分析給定方（fāng）向切麵上的受力信（xìn）息來對結構強（qiáng）度進行分析。上述對可（kě）打印性以及結構穩定性分析（xī）的方法，都依賴於對模型所受外力以及自身（shēn）重力的物理（lǐ）結構分析，但是對外力的預估往往並不是十分準確，因此他們分（fèn）析結果的真實（shí）性和可靠性（xìng）相對減弱。針對上述問題，Zhou等在不對模（mó）型受力情（qíng）況進（jìn）行假設的前提下，單純從模型的幾何形（xíng）態（tài）及其組（zǔ）成材料對最容易斷（duàn）裂或（huò）者破損的部（bù）分進行分析檢測，其中技術關鍵則是模態分析（modal analysis）。但也正是由於他們假設的限（xiàn）製性，所（suǒ）提（tí）出（chū）的算法隻初步考慮了材料的線性彈性，並未對材料的各種屬性（xìng）進行充分的分（fèn）析。

 

平衡性（xìng）是對靜（jìng）態（tài）模型的另一個（gè）常規要求，但是如果將給定（dìng）模（mó）型（xíng）直接打印，則可能會由於重心不穩定（dìng）的原因（yīn）無法使其（qí）保持平（píng）衡。Prévost等提出了（le）一個交互式對模型（xíng）體進行改變的方式，使得模型能夠以指定的方（fāng）式穩（wěn）定站立或者懸掛（guà）；其中允許的改變包（bāo）括（kuò）對模（mó）型（xíng）表麵進行形變以及在模型內部挖洞。類似地，為了能夠讓模型像陀螺或者悠悠球一樣旋轉，B?cher等通過在模型體內挖洞（dòng）來改變質量分布的方式，使模型在旋轉過程（chéng）中保持穩定狀態。Yamanaka等則通過（guò）改變模型（xíng）內（nèi）部結構使其質量分布滿足預定的期望。

圖1b和圖1c中分別展示了3D打印出來的可以穩定（dìng）站立和旋轉（zhuǎn）的模型。這方麵的（de）研究（jiū）通常（cháng）是先分析出模型（xíng）為滿（mǎn）足（zú）所（suǒ）研究的某一功能性要（yào）求的理想密度分布，然後（hòu）通過改變（biàn）模型內部材料分布，以及對模型外形進行輕微形變來達到要求。除了通過對（duì）現有模型進（jìn）行改造得到滿足特定要求的模型外（wài），新的以3D打印為目的的建模方式也應運而生，如合理的家具模型設計、幾何裝飾品設計（jì）以及平板拚裝模型的設計等。此外，由於通常情（qíng）況下設計（jì）和生產需要經過多次反複測試才能（néng）最終得到理想（xiǎng）的模型和實物，快速打印出近似的模型（xíng）設計來查看當前存在（zài）問題，可以有效地加快設計修改的進度。 

1．2  動態模型（xíng）  

關節模型（xíng）是較為常見的一種動態模型（xíng），且在計算機動（dòng）畫領域應用廣泛。然（rán）而，傳統的關節模型通常不能直接（jiē）作（zuò）為3D打（dǎ）印機的輸入進行（háng）製造，因此如何（hé）在已有數據基礎上設計（jì）出可直接打印的關節模型成為（wéi）一個關鍵問題。以（yǐ）包含表麵幾（jǐ）何信息以及內部（bù）骨骼信息的蒙皮網格為（wéi）輸入，B?cher等將其自動轉化成單個可以直（zhí）接打印的關節模型，圖（tú）2a顯示了同一（yī）個關節模型的不同姿勢。Calì等則將重點放在不同類型關節結構（gòu）的（de）設計上（shàng），對於給定的一個普通（tōng）靜態網格，他們通過用戶交互的方式構造出相似的關節模型。同樣，這裏的關節模（mó）型也是可以直接打印（yìn）的整體，不需要拚裝。圖2b顯示了一個3D打印得到的手關節模型（xíng）。這一類研究工作的重點主要在於關節結（jié）構的設計，以及如何在輸入模型中分布這些關節以使得最終模型能夠自如活動。

 

通過（guò）對關節的控製，可以將關節模（mó）型擺出不同的姿勢，而機械模型（mechanical model）則能進一步通過控製齒輪運動得到模型的動畫。機械玩具、機械人及機械卡通等設計相繼得以實現，並通過3D打印技術（shù）得（dé）以快（kuài）速（sù）製造（zào），如圖3所示。機械模型的設（shè）計依賴於初始輸入（rù）對最終動畫（huà）的要求，從預先生成的部件庫中選取並組裝合適的部（bù）件，使得最終的模型能夠完成（chéng）輸入的動（dòng）畫要求。

 

此外，3D打印技術的發展還激發了（le）其他一些有趣動（dòng）態模型（xíng）的創造。Zhou等在將（jiāng）一個（gè）給定模 型體素化（voxelization）之後，通過優化相鄰體素之間的關節類型分布以及折疊路徑的設置，最（zuì）終使得體素化後的模型能夠折（shé）疊（dié）成方（fāng）塊。Megaro等則提供了一個交互工具用來設計類似於（yú）皮（pí）影戲中人偶的動態模型。

2  打（dǎ）印過程優化

設計完成的三維模型（xíng）將（jiāng）作為3D打印機的輸入用於實例化製造。通常，模型是以三維表麵網格的形式（shì）表示（shì）， 但是3D打印出來的（de）是實體模型，所以第（dì）一步需要先將表麵網格轉化為體表達。接著，在確定出打印（yìn）方向之後， 實體模型需要被切割成垂直（zhí）於打印方向的層結構，最終通過逐層堆疊積累的方式打印出完整模型。以下將就打印不同階段所遇到的優化問題分別對相應研究進行（háng）簡介。   

2．1  容（róng）量限製 

每一款3D打印機都有可打印容量的限製， 所以在打（dǎ）印開始前（qián）可能出現（xiàn）的情況（kuàng）是現（xiàn）有的打印機無法容納（nà）下需要打印的模型。就這一問題，將輸入模型自動切割並分別（bié）打印之後再組裝回原模型的算法相繼被提出。這些算法（fǎ）都采用平麵切割（gē），並且（qiě）都在切割麵上設計並分布了連接（jiē）器（connector），以（yǐ）使得（dé）部（bù）件間可以靈活組裝。相比之前的工作，Luo等在切割過程中更多地考慮了可（kě）打印性、結構（gòu）穩定性、拚裝簡易性、美學特征等信息（xī），分割塊數也更少。圖4a顯示了采用該算法得到的對椅子模型的分割結果以及打印後拚裝成的實體模型。通過限（xiàn）製用（yòng）平麵對模型切割，從而便（biàn）於在（zài）其上增加連接器，並將這一模型分割問題轉化為尋找最優BSP樹的問題，再通過束搜索（beam search）算法對其進行求解。

 

針對連接器在有些情況（kuàng）下不能給（gěi）部件之（zhī）間提供充分的結構性保證，而且在運輸或者裝配過程中容易損（sǔn）壞（huài）的問題，Song等提出了將三維（wéi）模型切割成互鎖的（de）（interlocking）部件來（lái）避免使用連接（jiē）器（qì），如圖4b所示。通過這種互鎖的方式，拚裝之後的模型具備了較（jiào）高的穩定（dìng）性，又保證（zhèng）了每一塊（kuài）分割模型的表麵的光滑性。但是，這（zhè）一方式的分割又無法同時（shí）達到（dào）拚裝簡易性、具有美學特征等方麵的（de）要求。 

2．2  打印實體 

在對模型進行可打印性分（fèn）析以及在為實現其他功能特性（xìng）對模型進行改造時（shí），一般都會假設對最終得到的網格進行實心打印（除了改造（zào）過程中已挖空的部分）。然而，為了（le）節省打印材料以及打印時間，通常3D打印（yìn）機（jī）都會對模型體內（nèi）用相對於表麵較為鬆散的結構進行稀疏填充。但（dàn）是，一般自帶（dài）軟件的稀疏填充功能在材料以及時間上的節（jiē）省（shěng）度往往達不到用戶期望，所以不少研究者提出了不同的從三維表麵網格到可打印實體的轉（zhuǎn）化方式（shì）。

Wang等將（jiāng）模型表達成如圖5a所示一個很薄的蒙皮以及內部的剛架結構，使得表達後的物體（tǐ）體積最小，且（qiě）打（dǎ）印物體能夠滿足所要求的物理強度、受力穩定性、自平衡性及可打（dǎ）印性等要求。Lu等則用圖5b所（suǒ）示蜂窩（wō）結構作為模型的內部結構，在減少材料損耗的同時保證了模（mó）型（xíng）的強度。

這2項工作的主（zhǔ）要貢獻（xiàn）在於對自穩定結構的探索並將其成功引入到3D打印（yìn）過程（chéng）中來。用自穩定結構對模型進行近似，使得其在打（dǎ）印過（guò）程中的材料消耗大大降低的同時保證了結構的穩定性。為了在結構優化過程（chéng）中實現（xiàn）結構幾何形狀（zhuàng）與對象受力（lì）傳遞路徑保持一致，徐文鵬等通（tōng）過逐步（bù）刪除無效或者低利用率的內部材料（liào）來最小化打印體積。Vanek等則（zé）並未從自穩定結構出發，且減弱了對模型穩定性的考慮，更側重於材（cái）料和時間的（de）節省。他們直接用圖5c所示表麵的薄層來表示模型，並且（qiě）將表麵薄（báo）層分割堆疊後再一（yī）起進（jìn）行打印，從而達到進一（yī）步節省打印時間和材料的目的。

2．3  分層方（fāng）式 

一般的3D打印過程中，都是沿著選（xuǎn）定的打印方向對模型體根據打印精度進行均勻分層，即每一層具有相同厚度。事實上，由於模型在不同部位的精細（xì）程度不一樣，所以最合適的（de）層厚度也會有 所差異。而分層方式的優（yōu）化（huà），可以在一定程度上提高打印效率。對於CAD模型進行自（zì）適應分層的相關工作（zuò）可參見綜述文獻，這一類工作主要側重點在於打印得到的模型與輸入模型在幾何（hé）上（shàng）的近似程度。Wang等則在通過選取合適的打印方向之後，提出了在保模型顯著（zhe）特征的前提下進行自適應分層的算法，即根據特征在（zài）不同區域選用不（bú）同厚度的層結構（gòu）。其（qí）中的關鍵技術是將這一保顯著特征的自適應分層算法轉化為帶約束（shù）的稀疏優化問題進行求解。為了進一步減少打印時間，還可以根據顯著性特征的分析對模（mó）型進行分塊，再對每（měi）一塊（kuài）分別進行自適應分層。   

2．4  打印材料 

雖然目前大（dà）多數低端的3D打印機都（dōu）隻有一個噴頭，且僅支持單種材料；而更多實物是（shì）由多種材料構成的， 因此支持多（duō）種材料的3D打印機是硬件發（fā）展的必然趨勢，現已有少數產品正式上市。對於需要多種材料進行（háng）打印的模型，相比直接給出材料的組合方式，更自然的方式則是讓用戶給出這個模型想要得到的材質和外觀效果。相應地，如（rú）何將多種不同的基本材料進行組（zǔ）合得到期望的效果，是針對多材（cái）料3D打印機的研究熱點。Bickel等通過優（yōu）化不（bú）同種材料之間層次疊加（jiā）的組合方（fāng）式使得最終打印的（de）模型能（néng）夠達到給定的受到外力時的形變效果。Ha?an則希望通過組合基本（běn）材（cái）料的方式來得到理想的表麵散射（shè）效果。為了將上述操作進行整合，Chen等基於新的（de）描述材料空間以及優（yōu）化（huà）過程的數據結構，提出了一（yī）個（gè）統一處理不同目標下多（duō）種材料合成問題的算法框架Spec2Fab。Vidim?e則提出了另一個可編程流水線係統OpenFab來解決多種材料（liào）合成問題。不同於Spec2Fab，他們能夠讓用戶直接準確地給出對於最終打（dǎ）印模型幾何以及材料上的特性要求。此（cǐ）外，還有（yǒu）針對較普及的低端帶兩噴（pēn）頭的3D打印機方麵的研究工作，例如減少2種材料之間的相互滲 透以及在模型表麵打印出給定的紋理（lǐ）圖像。

 

2．5  支撐結構  

通常，上述研究工作都適用於各（gè）種類型的3D打印機。熔（róng）融沉積式（fused deposition modeling， FDM）3D打印機由於價格低廉、操作簡單，深受個人用戶以及教育機構歡迎，其普及程度較高（gāo）。因此，有（yǒu）不少研究工作都是針對這類（lèi）3D打印機開展的。這類打印機的最大缺點（diǎn）是在打（dǎ）印時對於那些懸空的結構（gòu）需要打印額外（wài）的支撐結構，使（shǐ）之得以附著。而這些支撐結構所帶來的弊端，一方麵是造成了材料和時間的浪費，另一方麵是在打（dǎ）印完成後需要手動將這些支撐材料從模型上去（qù）除。更（gèng）嚴重的是，由於它（tā）們之間的（de）附著較為緊密，很難去除，使得（dé）在去除過程中可能會損壞打印的模型。 

因此（cǐ），減少支撐材料成為優（yōu）化此類打印技術（shù）的關鍵，現有研究所采用的方式大致可以（yǐ）分為2類：

第1類方式是保持（chí）原模型不變而改（gǎi）變支撐結構， 使支撐結構本身的材料使（shǐ）用量減少． 目前， 3D打印機自帶軟件所生成的支撐結構通常是垂直連接懸空部（bù）分和其下最（zuì）接近的實體部分， 如圖6a所示（shì）的3D打印機MakerBot? ReplicatorTM自帶軟件生成的支撐結構（gòu）． 可（kě）以看到， 這一類支撐結構並非最優結構， 支撐材料的消耗將遠大於模（mó）型真實所需． 為了改善支撐結構， Wang等通過先檢測（cè）出懸空點， 再用類似於棍狀結構來連接懸空點和離得最近的網格上或者地（dì）麵（miàn）上的點． 在自動尋找並添加支撐結構杆的同（tóng）時， 陳岩等（děng）還對支撐（chēng）杆（gǎn）的具體結構進行了調整， 使其穩定性（xìng）更強並易（yì）於  去除（chú）． Vanek等則提（tí）出了自（zì）動生成類似於AUTODESK? MeshmixerTM所生成的樹狀支（zhī）撐結構的算法， 如圖6b所示． 這一支撐結構在材料和時間節省量上有更大（dà）的優勢． 此外， Dumas等  提 出了一種橋形結構（gòu）作為支撐， 如圖6c所（suǒ）示； 相對於樹狀結構， 橋形支撐結構具有（yǒu）更大（dà）的強度， 也更為穩（wěn）定．

 

第2類方式是對模型進行（háng）形變或者在對其進行切割後分塊打印，以降低其對（duì）支撐（chēng）結構的需求。在給定打印（yìn）方向的前提下，Hu等提出了一個對模型體（tǐ）做（zuò）少量形變，從而最大限度地（dì）減少支撐（chēng）材料使用的算法。在限製了切割方向隻能垂（chuí）直於（yú）打（dǎ）印方向之後，Nakajima等提（tí）出了（le）一個同時優化打印方向和相應的切割位置的算法。Hu等則在不對打印方向和切割方向做任何假（jiǎ）設的情況下，提出了（le）三維模型的金字塔分割（gē）問題，並將其轉化（huà）為集合精確覆蓋問題進行近似求解。其（qí）中金字塔分割問題是（shì）將給定（dìng）的三維模（mó）型分割成最少塊金字塔形狀，而金字塔形狀沿（yán）著其對應的正（zhèng）方（fāng）向是（shì）自支撐的，所以打印時不（bú）需要任何支撐材料。圖（tú）7顯示了直接打印得到的CCTV大樓模型，以及對其進行近似金（jīn）字（zì）塔分割後打印的結果（guǒ）。將給定的三維模型進行近似金字塔分割，並對分割塊（kuài）分別以其對應的正方向進行（háng）打印後（hòu）再拚（pīn）裝回原模型，Hu等的算法大大減（jiǎn）少了對支（zhī）撐材料的需求（qiú）。盡管金字塔形狀在打印時不需要任何支撐材料，但是（shì）三維模型不一定必須是金字塔形才能使得其對（duì）支（zhī）撐材料的需求為零（líng）。在實際打印過程中，當三維模型表麵（miàn）隻有小幅度的傾斜（xié）角度時，它可以（yǐ）不需要支撐材（cái）料而直接打印，因此（cǐ）對模型進行金字塔（tǎ）分（fèn）割並不能保（bǎo）證在最小化分割塊數以及（jí）最大化材料節省2方麵都達到最優狀態。

 

3  總結 

3D打印的發展使得從（cóng）模型設計（jì）到生產的時間周期明顯縮短，進而在（zài）設計過程中可以充分（fèn）地考慮打（dǎ）印相關的因素並進行處理，因此設計出的模型將更有實用價值。另一方（fāng）麵，對（duì）於打印過程進行進一步優化的研究工作也（yě）促進了3D打印技術的快速發展。對於在3D打印啟發下對模型實例化進行優化的工作，本文從模型設計和打印2個階段對現有研究進（jìn）行了簡（jiǎn）述。在模型設計階（jiē）段（duàn）， 基於對最終實例化模型的不同功能性要求，之前的研究工作對給定的數字（zì）化三維模型進行不同方式的分析和處理，使（shǐ）得（dé）其滿足給定的要求。然而，現實生活中存在著各種各樣具有（yǒu）不同功能的物體，目前已經被研究過的功能特性、能夠（gòu）直接打印的功能（néng）性物體隻（zhī）是這其中（zhōng）極（jí）小一部分。

 

由於3D打印使得模（mó）型的製造變得非常便利，相對於模型的幾（jǐ）何形態，研究者可以更注（zhù）重對模型功能性（xìng）的探索和（hé）分析，以輔助設計出能（néng）夠直接打印的、具（jù）有特定複（fù）雜功能的物體。在實（shí）體打印階段，為了能夠使得打印順利完成，或者進一步節省打印時間和材料，亦或者使得（dé）模型外（wài）觀在打印完成後達到某一特定的效果，研究（jiū）人員在各個打印步驟進行了優化。但是，往往（wǎng）每一項工作都會為了優（yōu）化某一特定（dìng）目（mù）標，而忽略其他重要特性。例如，為了節省打印材料和時間而對給定模型進行分割，卻造成（chéng）了模型（xíng）結構上的不穩定性；在優化支（zhī）撐結構的同時（shí）並未考（kǎo）慮模型的實體結構，而是假設其進行實心打（dǎ）印。因此，全麵分析打印各步驟可能的優化方式，並結合模型所應具（jù）備的各種功能特性給出一個完善的模型實例化係統，將會是一個巨大貢獻。隨著3D打印技術（shù）的不斷發展，我（wǒ）們相信將會有更多（duō）有趣的、值得（dé）研究和探索的幾何處理問題（tí）不斷湧現，而這些問題的解決又將進一步促（cù）進3D打印技術的發展。